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je fais, pour abréger,

$(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\mathrm {T} y_{3}+\ldots )\alpha ^{x}=\operatorname {F} (\alpha ),$

$\operatorname {F} (a)$ dénotant, comme l’on voit, une fonction donnée de $\alpha .$

Je considère ensuite la formule

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}+{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }},$

et, après l’avoir développée en série suivant les puissances ascendantes de $\omega ,$ je ne retiens que les termes où la quantité $\omega$ ne se trouve point, en rejetant ceux qui se trouveront divisés ou multipliés par des puissances de $\omega \,;$ je dis que ces termes seront ceux de l’expression du terme général $y_{x},$ qui proviendront de la racine $\alpha ,$ soit que cette racine soit une racine simple, ou double, ou triple, $\ldots .$

Ainsi, si $\alpha$ est une racine simple, on aura tout de suite

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}}$

pour le terme dû à cette racine.

Si $\alpha$ est une racine double, alors ${\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}=0,$ et la formule se réduira à

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+\ldots }{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }}=$

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}}+\omega \times \ldots .$

Donc les termes dus à la racine double $\alpha$ seront

${\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}},$

ou bien (6)

${\frac {1}{\mathrm {P} '}}{\frac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '^{2}}}{\frac {d\mathrm {P} '}{d\alpha }},$