je fais, pour abréger,
![{\displaystyle (\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\mathrm {T} y_{3}+\ldots )\alpha ^{x}=\operatorname {F} (\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ae50e52d14e0d7eec91aacbc9536b8a24c1771)
dénotant, comme l’on voit, une fonction donnée de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Je considère ensuite la formule
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}+{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a124d7d1f638678d6e5712f6840e093fac46ef7)
et, après l’avoir développée en série suivant les puissances ascendantes de
je ne retiens que les termes où la quantité
ne se trouve point, en rejetant ceux qui se trouveront divisés ou multipliés par des puissances de
je dis que ces termes seront ceux de l’expression du terme général
qui proviendront de la racine
soit que cette racine soit une racine simple, ou double, ou triple, ![{\displaystyle \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c70874374019000ada94cfc5d8a558f89a75c5f)
Ainsi, si
est une racine simple, on aura tout de suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ace5219219955aa04cf936796ee8b3514c2486)
pour le terme dû à cette racine.
Si
est une racine double, alors
et la formule se réduira à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+\ldots }{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf7cf30320f3efce0530b9248ead377dbd9b473)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}}+\omega \times \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9456ce2f036dac87e994efad6e878c97e8900d)
Donc les termes dus à la racine double
seront
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa82d10561bbf9a38d6a7a2396cc91f2757a39a2)
ou bien (6)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {P} '}}{\frac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '^{2}}}{\frac {d\mathrm {P} '}{d\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e27cb00619d16812f6f1b73066aab6bcf04d7c)