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On aura donc par ces substitutions, en supposant qu’on ait mis $\alpha$ à la place de $y$ dans $\mathrm {P',P''} ,\ldots ,$

$f(\alpha )={\frac {\mathrm {N} \alpha ^{x}}{\mathrm {P} '}},\quad f'(\alpha )={\frac {\mathrm {N} \alpha ^{x}}{\mathrm {P} ''}},$

et ainsi de suite (2). Donc enfin, substituant ces valeurs dans les formules du n^o 3, on trouvera :

1^o Que, lorsque $\alpha =\beta ,$ les deux termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$

de l’expression du terme général $y_{x}$ se réduiront à cette expressiom

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} '}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha }},$

en faisant

$\mathrm {P'={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}P}{d\alpha ^{2}}},\quad {\frac {dP'}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}} ,\ldots \,;$

2^o Que, lorsque $\alpha =\beta =\gamma ,$ les trois termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$

se réduiront à

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} ''}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha ^{2}}},$

en faisant

$\mathrm {P''={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}},\quad {\frac {dP''}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}},\quad {\frac {d^{2}P''}{d\alpha ^{2}}}={\frac {1}{3.4.5}}{\frac {d^{5}P}{d\alpha ^{5}}}} \,;$

3^o Que, lorsque $\alpha =\beta =\gamma =\delta ,$ les quatre termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+d\delta ^{x}$

se réduiront à

${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} '''}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha ^{3}}},$