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auraient donné

${\frac {\cfrac {d\left[\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )\right]}{d\alpha }}{\alpha -\gamma }}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )}{(\alpha -\gamma )^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} (\gamma )f'(\gamma )}{(\gamma -\alpha )^{2}}}\,;$

ce qui, en faisant $\gamma =\alpha +\omega ,$ se réduit à

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left[\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )\right]}{d\alpha ^{2}}}.$

C’est aussi de cette manière que je m’y étais pris d’abord pour résoudre le cas des racines égales ; mais, quoiqu’elle conduise à des résultats exacts, il me semble qu’on ne peut pas l’adopter sans précaution ; car il est remarquable que la quantité qu’on y prend pour une simple fonction de contient toutes les autres racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ sans $\alpha \,;$ que, de même, celle qu’on y prendrait pour une fonction de $\beta$ contiendrait les autres racines sans $\beta ,$ et ainsi de suite ; ce qui doit au moins laisser quelque doute sur la bonté de cette méthode ; mais d’après celle que nous avons suivie, il n’en doit rester aucun sur l’exactitude de nos résultats.

6. Mais ces résultats n’ont pas encore toute la simplicité dont ils sont susceptibles ; car les quantités que nous avons désignées par $f(\alpha ),f'(\alpha ),\ldots$ dépendent à la fois des différentes racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et il faut les réduire à n’être que des fonctions de la seule racine $\alpha .$

Pour cela je fais, comme dans le n^o 2 du Mémoire déjà cité,

$\mathrm {P=A+B\alpha +C\alpha ^{2}+D\alpha ^{3}+\ldots +N\alpha ^{n}} \,;$

je change pour un moment $\alpha$ en $y\,;$ j’aurai

$\mathrm {P} =0$

pour l’équation (A) du n^o 1 ci-dessus, dont les racines sont $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ De sorte que, par la nature des équations, j’aurai

$\mathrm {P=N} (y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )\ldots$

équation identique.