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2^o Dans le cas de $\gamma =\beta =\alpha ,$ la quantité

${\frac {1}{2\mathrm {N} }}{\frac {d^{2}\left[(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots )f'(\alpha )\right]}{d\alpha ^{2}}}$

pour la valeur des trois termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}\,;$

et ainsi de suite.

5. En considérant ces résultats, il est clair qu’on eût pu les trouver plus simplement, en substituant dans l’expression du coefficient $a,$ à la place de

$y_{n-1}-(\beta +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\beta \gamma +\beta \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots ,$

sa valeur

${\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {N} }},$

et considérant cette quantité comme une fonction de $\alpha \,;$ car, en la désignant par $\operatorname {F} (\alpha ),$ on eût eu, de même, pour le coefficient $b,$ la quantité

$y_{n-1}-(\alpha +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\alpha \gamma +\alpha \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots =\operatorname {F} (\beta )\,;$

de sorte que l’on eût eu pour les deux termes $a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$ l’expression

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )f(\alpha )}{\alpha -\beta }}+{\frac {\operatorname {F} (\beta )f(\beta )}{\beta -\alpha }},$

laquelle eût donné sur-le-champ, en faisant $\beta =\alpha +\omega ,$

${\frac {d\left[\operatorname {F} (\alpha )f(\alpha )\right]}{d\alpha }}.$

On eût trouvé de la même manière, pour le cas de trois racines égales, en faisant

$f(\alpha )={\frac {f'(\alpha )}{\alpha -\gamma }},$

que les trois premiers termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$