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Faisons dans l’équation précédente $y=\beta ,$ on aura

$\mathrm {Q} +\mathrm {R} \beta +\mathrm {S} \beta ^{2}+\mathrm {T} \beta ^{3}+\ldots =0\,;$

retranchant cette quantité du premier membre de la même équation et divisant le tout par $y-\beta ,$ on aura

$\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'y+\mathrm {S} 'y^{2}+\mathrm {T} 'y^{3}+\ldots =\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {Q} '&=\mathrm {R+S\beta +T} \beta ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} '&=\mathrm {S+T} \beta +\ldots ,\\\mathrm {S} '&=\mathrm {T} +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Pareillement on trouvera

$\mathrm {Q} ''+\mathrm {R} ''y+\mathrm {S} ''y^{2}+\mathrm {T} ''y^{3}+\ldots =\mathrm {N} (y-\delta )\ldots$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {Q} ''&=\mathrm {R'+S'\gamma +T'} \gamma ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} ''&=\mathrm {S'+T'} \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} ''&=\mathrm {T} '+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

4. 1^o Soit maintenant $\beta =\alpha ,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {N} (y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'y+\mathrm {S} 'y^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Faisant dans $\mathrm {Q',R',S'} ,\ldots \beta =\alpha ,$ et substituant les valeurs de $\mathrm {Q,R} ,\ldots$ en $\alpha ,$ on trouve

${\begin{aligned}\mathrm {Q} '&=\mathrm {C+2D\alpha +3E} \alpha ^{2}+\ldots ={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }},\\\mathrm {R} '&=\mathrm {D+2E} \alpha +\ldots ={\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }},\\\mathrm {S} '&=\mathrm {E} +\ldots ={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$