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Pour pouvoir employer ces expressions, il faudra développer les différents produits

$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$

$(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots ,$

et ainsi de suite en puissances, de $y,$ et changer ensuite dans ces puissances les exposants en indices, c’est-à-dire changer

$y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ldots$

en

$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ldots ,$

en conservant les coefficients de ces puissances.

3. La difficulté qui résulte des racines égales est donc résolue d’une manière générale ; mais les expressions qu’on vient de trouver étant données en fonction de toutes les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on peut désirer de les avoir en fonction de la seule racine $\alpha ,$ ce qui donnera même à nos formules plus de simplicité.

Pour cela, nous remarquerons que, puisque $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation (B), on aura

$\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots +\mathrm {N} y^{n}=\mathrm {N} (y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )\ldots .$

En faisant $y=\alpha ,$ on aura

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=0\,;$

retranchant cette quantité du premier membre de l’équation précédente et divisant ensuite par $y-\alpha ,$ on aura

$\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\mathrm {T} y^{3}+\ldots +\mathrm {N} y^{n-1}=\mathrm {N} (y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$

en faisant, comme dans le n^o 2 du Mémoire cité,

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\mathrm {B+C\alpha +D} \alpha ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C+D} \alpha +\ldots ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D} +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$