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Enfin le troisième terme étant représenté par

${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )^{2}}}f'(\gamma )$

deviendra, en mettant $\alpha +\omega$ pour $\gamma ,$

${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{\omega ^{2}}}f'(\alpha +\omega ),$

savoir

${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )}{\omega ^{2}}}\left[f'(\alpha )+\omega {\frac {df'(\alpha )}{d\alpha }}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}{\frac {d^{2}f'(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots \right].$

Faisant toutes ces substitutions, effaçant ce qui se détruit et faisant ensuite $\omega =0,$ on trouvera pour la valeur des trois premiers termes de $y_{x}$ la quantité

$(y-\delta )\ldots f'(\alpha )+(y-\alpha )(y-\delta )\ldots {\frac {df'(\alpha )}{d\alpha }}+(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}f'(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}.$

Si l’on avait encore $\delta =\alpha ,$ en sorte que les quatre racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ fussent égales entre elles, on trouverait, en suivant la même marche, que les quatre premiers termes de l’expression de $y_{x},$ savoir

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+d\delta ^{x},$

dont chacun serait infini, pris ensemble se réduiraient à la quantité suivante

$(y-\varepsilon )\ldots f''(\alpha )+(y-\alpha )(y-\varepsilon )\ldots {\frac {df''(\alpha )}{d\alpha }}+(y-\alpha )^{2}(y-\varepsilon )\ldots {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}f''(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}$

$+(y-\alpha )^{3}(y-\varepsilon )\ldots {\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}f''(\alpha )}{d\alpha ^{3}}},$

en faisant

$f''(\alpha )={\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\varepsilon )(\alpha -\zeta )\ldots }}\,;$

et ainsi de suite, la loi de la progression étant visible d’elle-même.