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Substituant ces valeurs dans les deux termes dont il s’agit, effaçant ce qui se détruit et faisant ensuite $\omega =0,$ on aura pour résultat

$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots f(\alpha )+(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots {\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}.$

C’est la valeur des deux premiers termes de l’expression de $y_{x}.$ Et le troisième terme $c\gamma ^{x}$ de la même expression deviendra alors, à cause de $\beta =\alpha ,$

${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )^{2}(\gamma -\delta )\ldots }}\gamma ^{x}.$

La valeur des autres ne sera sujette à aucune difficulté.

Si outre $\beta =\alpha$ on avait encore $\gamma =\alpha ,$ ce qui est le cas de trois racines égales, alors $f(\alpha )$ deviendrait infini, ainsi que la valeur du troisième terme ; les trois premiers termes seraient donc infinis, et il faudrait faire de nouveau $\gamma =\alpha +\omega .$

Soit

${\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\delta )(\alpha -\varepsilon )\ldots }}=f'(\alpha ),$

on aura

$f(\alpha )={\frac {f'(\alpha )}{\alpha -\gamma }},$

et, différentiant suivant $\alpha ,$

${\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}={\frac {1}{\alpha -\gamma }}{\frac {df'(a)}{d\alpha }}-{\frac {f'(\alpha )}{(\alpha -\gamma )^{2}}}.$

Donc, faisant

$\gamma =\alpha +\omega ,$

on aura

$f(\alpha )=-{\frac {f'(\alpha )}{\omega }},\quad {\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}=-{\frac {1}{\omega }}{\frac {df'(\alpha )}{\alpha }}-{\frac {f'(\alpha )}{\omega ^{2}}}.$

De plus

$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots$

deviendra

$(y-\alpha )(y-\delta )\ldots -\omega (y-\delta )\ldots ,$

et

$(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots$

deviendra

$(y-\alpha )^{2}(y-\gamma )\ldots -\omega (y-\alpha )(y-\delta )\ldots .$