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ensuite ayant

$\mathrm {V} '=-fm\left[{\frac {1}{p'}}+{\frac {n^{2}k^{3}}{q'}}-{\frac {n^{2}k^{3}}{\mathrm {R} }}+n^{2}k^{3}{\frac {(1+x)\cos(t-\Sigma )-y\sin(t-\Sigma )}{\mathrm {R} ^{2}}}\right],$

où

$p'={\sqrt {(1+x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

et

$q'={\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+2\mathrm {R} (1+x)\cos(t-\Sigma )-2\mathrm {R} y\sin(t-\Sigma )+p'^{2}}},$

on trouvera par la différentiation

${\begin{aligned}{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta x}}=&fm\left[{\frac {1+x}{p'^{3}}}+n^{2}k^{3}\left({\frac {\mathrm {R} \cos(t-\Sigma )+1+x}{q'^{3}}}-{\frac {\cos(t-\Sigma )}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\right],\\{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta y}}=&fm\left[{\frac {y}{p'^{3}}}+n^{2}k^{3}\left({\frac {-\mathrm {R} \sin(t-\Sigma )+y}{q'^{3}}}+{\frac {\sin(t-\Sigma )}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\right],\\{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta z}}=&fm\left({\frac {z}{p'^{3}}}+n^{2}k^{3}{\frac {z}{q'^{3}}}\right).\end{aligned}}$

58. Substituant ces valeurs dans les trois premières des équations du n^o 56 et divisant par $m,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&-{\frac {2dy}{dt}}-1-x+f(1+x)\left({\frac {1}{p'^{3}}}+{\frac {n^{2}k^{3}}{q'^{3}}}\right)\\&+fn^{2}k^{3}\left({\frac {\mathrm {R} }{q'^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\cos(t-\Sigma )+{\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta x}}=0,\\\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+{\frac {2dx}{dt}}-y+fy\left({\frac {1}{p'^{3}}}+{\frac {n^{2}k^{3}}{q'^{3}}}\right)\\&-fn^{2}k^{3}\left({\frac {\mathrm {R} }{q'^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\sin(t-\Sigma )+{\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}}=0,\\\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+fz\left({\frac {1}{p'^{3}}}+{\frac {n^{2}k^{3}}{q'^{3}}}\right)+{\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta z}}=0.\end{aligned}}$

Ce sont les équations qui doivent servir à déterminer l’orbite de la Lune, et elles s’accordent avec celles de M. Euler, dans sa Nouvelle Théorie de la Lune, aux quantités ${\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta x}},\ {\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}},\ {\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta z}}$ près, lesquelles résul-