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donne lieu à des résultats nouveaux et remarquables pour leur simplicité c’est ce qui m’a engagé à en faire la matière de ce Mémoire.

1. Je commencerai par rappeler les principales formules de l’endroit cité.

Soit la série

$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ \ y_{3},\ldots ,\ \ y_{x},\ \ y_{x+1},\ \ y_{x+2},\ldots ,$

dans laquelle on ait constamment cette équation, entre $n+1$ termes consécutifs,

(A)

$\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} y_{x+u}=0,$

$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des coefficients constants quelconques. L’expression du terme général $y_{x}$ sera de cette forme

$y_{x}=a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+\ldots ,$

les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant les différentes racines de l’équation

(B)

$\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\ldots +\mathrm {N} y^{n}=0,$

que j’appelle équation génératrice, et les coefficients $a,b,c,\ldots$ étant de cette forme

${\begin{aligned}a=&{\frac {y_{n-1}-(\beta +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots }{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }}\\b=&{\frac {y_{n-1}-(\alpha +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\alpha \gamma +\alpha \delta +\gamma \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots }{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Je remarque d’abord qu’on peut donner à ces expressions une forme plus simple et plus commode pour le calcul, en observant que, si dans le produit

$(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$

on change après le développement les puissances

$y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ \ y^{3},\ldots ,\ \ y^{n-1},\ldots$

en

$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ \ y_{3},\ldots ,\ \ y_{n-1},\ldots ,$