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connue des progressions arithmétiques,

${\begin{aligned}a+a'+a''+\ldots +b\,=&(a+b){\frac {m+2}{2}},\\b+b'\,+b''+\ldots +c\,=&(b+c){\frac {m+2}{2}},\\c+c'\,+c''+\ldots +d=&(c+d){\frac {m+2}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc, ajoutant,

$a+a'+a''+\ldots +2b+b'+b''+\ldots +2c+c'+c''+\ldots +2d+\ldots +u$

$=(a+2b+2c+2d+\ldots +u){\frac {m+2}{2}}\,;$

et par conséquent la somme entière de la série

$a+a'+a''+\ldots +b+b'+b''+\ldots +c+c'+\ldots +u$

sera

${\begin{aligned}&(a+2b+2c+\ldots +u){\frac {m+2}{2}}-b-c-d-\ldots \\&\quad =(a+b+c+\ldots +u){\frac {m+2}{2}}+(b+c+d+\ldots ){\frac {m}{2}}\\&\quad =(a+b+c+\ldots +u)(m+1)-(a+u){\frac {m}{2}}.\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit que, pour avoir la somme de la série interpolée, il n’y aura qu’à multiplier la somme de la série primitive par $m+1,$ et en retrancher la somme des deux termes extrêmes multipliée par ${\frac {m}{2}}.$

Si l’on ne prend les années que de quatre en quatre, on aura alors $m=3,$ et il faudra quadrupler la somme de la série et en retrancher les ${\frac {3}{2}}$ la somme des termes extrêmes.

15. J’ai calculé de cette manière deux Tables pour le cas d’un seul enfant mineur, et en prenant successivement pour l’âge de l’enfant $1,5,$$9,13,17,21$ ans, et pour l’âge du père $30,34,38,42,\ldots$ jusqu’à $90$ ans ; mais dans l’une de ces Tables j’ai tenu compte de la mortalité de l’en-