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dont les âges sont a et $b,$ est, y compris la première année, de

${\frac {(a)(b)+{\cfrac {(a+1)(b+1)}{r}}+{\cfrac {(a+2)(b+2)}{r^{2}}}+{\cfrac {(a+3)(b+3)}{r^{3}}}+\ldots }{(a)(b)}}.$

La valeur présente d’une annuité à vie, constituée sur trois personnes dont les âges sont $a,b,c,\ldots$ est, y compris toujours la première année, de

${\frac {\left[{\begin{aligned}&(a)(b)(c)+{\cfrac {(a+1)(b+1)(c+1)}{r}}+{\cfrac {(a+2)(b+2)(c+2)}{r^{2}}}\\&\qquad \qquad +{\cfrac {(a+3)(b+3)(c+3)}{r^{3}}}+\ldots \end{aligned}}\right]}{(a)(b)(c)}}\,;$

et ainsi de suite.

Et, si l’on veut que ces annuités dépendent de la minorité de quelques-unes des personnes sur lesquelles elles sont constituées, alors si $a$ est l’âge du mineur le plus âgé, il ne faudra prendre qu’autant de termes de la série qu’il y a d’unités dans $26-a,$ en supposant que la minorité cesse à $25$ ans ; en sorte qu’il faudra s’arrêter au terme qui aura $r^{25-a}$ au dénominateur.

14. L’application-de ces formules n’a plus, comme on voit, d’autre difficulté que la longueur du calcul, mais on peut l’abréger en considérant que, comme les Tables de mortalité ne sont pas rigoureusement exactes et qu’elles n’ont même été construites que par des milieux pris entre différentes années, il suffira de prendre les années de quatre en quatre, ou de cinq en cinq, et de supposer que les termes intermédiaires dans les formules soient en progression arithmétique.

Or, si l’on a la série

$a,b,c,d,e,\ldots ,u,$

et qu’entre les termes consécutifs de cette série il faille placer rra autres termes qui soient en progression arithmétique avec les termes donnés, en dénotant par $a',a'',\ldots$ les termes entre $a$ et $b,$ par $b',b'',\ldots$ les termes entre $b$ et $c,$ et ainsi de suite, il est clair qu’on aura, par la propriété