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et de là

$\mathrm {X={\overline {BP}}-{\overline {ABP}}} .$

Donc, puisque

$\mathrm {N={\overline {AP}}+X} ,$

on aura enfin

$\mathrm {N={\overline {AP}}+{\overline {BP}}-{\overline {ABP}}} .$

Et l’on trouverait la même expression, si l’on supposait que la minorité de l’enfant $\mathrm {B}$ s’éteignît avant celle de l’enfant $\mathrm {A} .$

10. En troisième lieu, s’il y a trois enfants $\mathrm {A,B,C} ,$ on trouvera, par des raisonnements analogues que je supprimerai pour n’être pas trop long,

$\mathrm {M={\overline {A}}+{\overline {B}}+{\overline {C}}-{\overline {AB}}-{\overline {AC}}-{\overline {BC}}+{\overline {ABC}}} ,$

et de même

$\mathrm {N={\overline {AP}}+{\overline {BP}}+{\overline {CP}}-{\overline {ABP}}-{\overline {ACP}}-{\overline {BCP}}+{\overline {ABCP}}} \,;$

et ainsi de suite s’il y avait un plus grand nombre d’enfants.

11. De là je conclus, en général, que, quel que soit le nombre des enfants mineurs, la valeur de $\mathrm {M}$ est toujours égale à la somme des valeurs des annuités constituées sur la minorité de chaque enfant en particulier, moins la somme des valeurs des annuités constituées sur la minorité commune de chaque couple d’enfants pris deux à deux de toutes les manières possibles, plus la somme des valeurs des annuités constituées sur la minorité commune de chaque trio d’enfants pris trois à trois de toutes les manières possibles, moins, etc.

Et la valeur de $\mathrm {N}$ sera pareillement égale à la somme des valeurs des annuités constituées sur la vie du père et sur la minorité de chaque enfant en particulier, moins la somme des valeurs des annuités constituées sur la vie du père et sur la minorité commune de chaque couple d’enfants pris deux à deux de toutes les manières possibles, plus la somme des valeurs des annuités constituées sur la vie du père et sur la minorité commune de chaque trio d’enfants pris trois à trois de toutes les manières possibles, moins, etc.