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Puisque

$\sin \omega ds=rdq,\quad \cos \omega ds=dr,$

on aura

$fds=\rho dr+\varpi rdq,\quad gds=\rho rdq-\varpi dr,$

et l’on aura par le n^o  13

${\begin{aligned}&\mathrm {\frac {\delta E}{A}} ={\frac {\mathrm {A} \cos \theta (\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}+{\frac {\sin \theta (\rho rdq-\varpi dr)}{r}},\\&\mathrm {\frac {E\delta \varphi }{A}} ={\frac {\mathrm {A} \sin \theta (\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}-{\frac {\cos \theta (\rho rdq-\varpi dr)}{r}}.\end{aligned}}$

Mais on pourra avoir des formules plus simples à quelques égards, en les déduisant immédiatement de celles du n^o  14. Car, puisque

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&\sin \varphi \ \delta \mathrm {\frac {E}{A}} +\mathrm {\frac {E}{A}} \cos \varphi \ \delta \varphi ,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&\cos \varphi \ \delta \mathrm {\frac {E}{A}} -\mathrm {\frac {E}{A}} \sin \varphi \ \delta \varphi ,\end{aligned}}$

on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}\delta \mathrm {\frac {E}{A}} =&\sin \varphi \left({\frac {\varpi dr}{r}}+\rho dq\right)-2\cos \varphi \times \varpi dq,\\\mathrm {\frac {E\delta \varphi }{A}} =&\cos \varphi \left({\frac {\varpi dr}{r}}+\rho dq\right)+2\sin \varphi \times \varpi dq.\end{aligned}}$

Enfin, si l’on voulait aussi exprimer par des formules analytiques les variations du paramètre $\mathrm {L}$ et du grand axe $\mathrm {A} ,$ on aurait par les n^os 8 et 9

$\delta \mathrm {L} =4\varpi \rho dq,\quad \delta \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {A} ^{2}(\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}.$