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et l’on pourra mettre les équations précédentes sous la forme

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \psi +g\cos \psi }{r}}ds-f{\frac {\mathrm {E} \sin \varphi -\mathrm {R} \sin \psi }{r^{2}}}ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {f\cos \psi -g\sin \psi }{r}}ds-f{\frac {\mathrm {E} \cos \varphi +\mathrm {R} \cos \psi }{r^{2}}}ds.\end{aligned}}$

Or dans le triangle $\mathrm {PSH}$ on a évidemment

$\mathrm {E\sin \varphi -R\sin \psi =0,\quad E\cos \varphi +R} \cos \psi =r\,;$

donc

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \psi +g\cos \psi }{r}}ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {f(1+\cos \psi )-g\sin \psi }{r}}ds.\end{aligned}}$

Enfin on sait que l’angle $\psi$ ou $\mathrm {SPH}$ est le complément à deux droits du double de l’angle $\mathrm {NPS} \,;$ de sorte qu’en nommant $\omega$ ce dernier angle, on aura

$\sin \psi =\sin 2\omega =2\sin \omega \cos \omega ,\quad \cos \psi =-\cos 2\omega =\sin ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega ,$

$1+\cos \psi =2\sin ^{2}\omega \,;$

par ces substitutions, les équations trouvées en dernier lieu deviendront

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {2f\sin \omega \cos \omega +g\left(\sin ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega \right)}{r}}ds\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {2f\sin ^{2}\omega -2g\sin \omega \cos \omega }{r}}ds,\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \omega -g\cos \omega }{r}}\cos \omega ds+{\frac {f\cos \omega +g\sin \omega }{r}}\sin \omega ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-2{\frac {f\sin \omega -g\cos \omega }{r}}\sin \omega ds.\end{aligned}}$

Il est visible qu’on a dans la fig. 2, page 571,

$\mathrm {IH=E\sin \varphi ,\quad SI=E\cos \varphi ,\quad {\frac {SN}{SP}}=\sin \omega ,\quad {\frac {PN}{SP}}} =\cos \omega \,;$

ainsi les formules précédentes sont identiques avec celles du n^o 12.