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et de là on aura directement

$\mathrm {{\frac {1}{SP+PH}}={\frac {1}{SP}}-{\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}}} ,$

ce qui donne le grand axe $\mathrm {SP+PH,}$ ainsi que la longueur de $\mathrm {PH}$ en quantités connues.

5. On peut au reste déterminer la position de l’autre foyer $\mathrm {H}$ d’une manière plus directe, que nous donnerons ici, parce qu’elle nous sera utile pour notre objet. Elle consiste à trouver la valeur de la ligne $\mathrm {HI}$ (fig. 2), menée du foyer $\mathrm {H}$ perpendiculairement au rayon $\mathrm {SP} ,$ ainsi que la valeur de la partie $\mathrm {SI}$ de ce rayon.

Fig. 2.

autre défintion de conique connaissant vitesse et direction

Pour cela on considérera que, puisque $\mathrm {HI}$ est perpendiculaire sur $\mathrm {SP} ,$ comme $\mathrm {SK}$ est perpendiculaire sur $\mathrm {PH}$ dans la fig. 1, la proportion de Newton

$\mathrm {SP+PH:PH=2SP+2KP:L} ,$

étant transportée à la fig. 2, deviendra

$\mathrm {SP+PH:PS=2PH+2PI:L} \,;$

mais

$\mathrm {PI=PS-SI} \,;$

donc

$\mathrm {PS+PH:PS=2(PS+PH-SI):L} ,$

d’où l’on tire aisément

$\mathrm {{\frac {SI}{PS+PH}}=1-{\frac {L}{2PS}}} .$