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tion XVII du même Livre, l’angle $\mathrm {RPH}$ égal au complément à deux droits de l’angle $\mathrm {RPS} ,$ et l’on aura ainsi la position de la ligne $\mathrm {PH}$ qui passera par l’autre foyer $\mathrm {H} .$ Pour déterminer la longueur $\mathrm {PH,}$ on tirera $\mathrm {SK}$ perpendiculaire à $\mathrm {PH,}$ et, nommant $\mathrm {L}$ le paramètre déjà connu, on fera cette proportion

$\mathrm {SP+PH:PH=-2SP+2KP:L} .$

Ainsi $\mathrm {PH}$ sera donnée tant de longueur que de position, et la section conique sera par là entièrement déterminée.

4. Telle est la construction donnée par Newton ; on peut la simplifier un peu en considérant que l’angle $\mathrm {SPN}$ est égal à l’angle $\mathrm {RPH} ,$ puisqu’ils sont l’un et l’autre compléments de l’angle $\mathrm {SPR}$ à deux droits, que par conséquent, si l’on mène la perpendiculaire $\mathrm {VPF}$ à la droite $\mathrm {NPR} ,$ elle divisera en deux parties égales l’angle $\mathrm {SPH} ,$ ainsi que la droite $\mathrm {SG}$ tirée du point $\mathrm {S}$ parallèlement à la droite $\mathrm {NPR}$ et terminée à la ligne $\mathrm {PH} \,;$ d’où il est aisé de conclure que $\mathrm {SF}$ sera égale à $\mathrm {PN,}$ $\mathrm {SG}$ égale à $2\mathrm {PN} ,$ $\mathrm {PG}$ égale à $\mathrm {PS} \,;$ donc

${\begin{aligned}\mathrm {{\overline {SG}}^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4{\overline {PN}}^{2}} =&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {KG}}^{2}={\overline {SK}}^{2}+{\overline {PS-PK}}^{2}} \\=&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {PK}}^{2}-2PS\times PK+{\overline {PS}}^{2}=2{\overline {PS}}^{2}-2PS\times PK} \,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {PS\times PK={\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}} .$

et

$\mathrm {PS\times (PS+PK)=2{\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}=2{\overline {SN}}^{2}} .$

Substituant donc dans la proportion donnée par Newton pour $\mathrm {SP+KP}$ sa valeur $\mathrm {\frac {2{\overline {SN}}^{2}}{PS}} ,$ elle deviendra

$\mathrm {SP+PH:PH={\frac {4{\overline {SN}}^{2}}{PS}}:L} \,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {L={\frac {4{\overline {SN}}^{2}\times PH}{(SP+PH)\times SP}}=4{\overline {SN}}^{2}\left({\frac {1}{SP}}-{\frac {1}{SP+PH}}\right)} \,;$