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de la petitesse des quantités $x,y,z\,;$ mais nous avons cru devoir donner d’abord la valeur complète, pour qu’on puisse ensuite mieux voir quels sont les termes qu’on y peut négliger.

50. Il reste à examiner l’autre partie de la fonction $\mathrm {V} ,$ laquelle doit provenir de l’action du Soleil sur la Lune. Or, en désignant par $q$ la distance rectiligne du Soleil à chaque particule $dm$ de la Lune, l’action directe du premier de ces deux astres sur toute la masse de l’autre donne dans la fonction $\mathrm {V}$ la quantité $-g\mathbf {S} {\frac {dm}{q}}\,;$ et pour avoir la valeur de $q$ il suffit de se rappeler que $x'+\xi ,$$y'+\eta ,\ z'+\zeta$ sont les coordonnées rectangles de chaque particule $dm$ de la Lune par rapport aux axes fixes passant par le centre de la Terre ; de sorte que, si l’on nomme $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ les deux coordonnées du lieu du Soleil dans l’écliptique par rapport aux mêmes axes, on aura évidemment

$q={\sqrt {\left(\mathrm {X} -x'-\xi \right)^{2}+\left(\mathrm {Y} -y'-\eta \right)^{2}+\left(z'+\zeta \right)^{2}}}.$

Soit $\mathrm {R}$ la distance du Soleil à la Terre, c’est-à-dire le rayon vecteur de son orbite, et $\Sigma$ la longitude de la Terre vue du Soleil, en sorte que $\Sigma +180^{\circ }$ soit la longitude vraie du Soleil, on aura

$\mathrm {X=-R} \cos \Sigma ,\quad \mathrm {Y=-R} \sin \Sigma \,;$

et ces valeurs étant substituées dans l’expression précédente de $q,$ ainsi que celles de $x'+\xi ,\ y'+\eta ,\ z'+\zeta$ trouvées dans le n^o 46, on aura

$q={\sqrt {\begin{aligned}&\mathrm {R} ^{2}+2\mathrm {R} (1+x-\lambda )\cos(t-\Sigma )-2\mathrm {R} (y-\mu )\sin(t-\Sigma )\\&\quad \ +(1+x-\lambda )^{2}+(y-\mu )^{2}+(z+\nu )^{2}\end{aligned}}}\,;$

d’où l’on déduira la valeur de ${\frac {1}{q}},$ et ensuite celle de $\mathbf {S} {\frac {dm}{q}}$ par des opérations semblables à celles, des numéros précédents ; mais il y a ici une remarque importante à faire.

51. Nous avons supposé jusqu’ici la Terre en repos pour n’avoir à considérer que les différents mouvements de la Lune par rapport à la Terre, lesquels sont les seuls qu’il nous importe de connaître ; cette sup-