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lesquelles sont intégrables chacune en particulier, et leurs intégrales seront

${\frac {x^{m^{2}}}{z}}=\alpha ,\quad {\frac {y^{n^{2}}}{z}}=\beta .$

Donc l’équation générale des surfaces coupantes sera

$\operatorname {F} \left({\frac {x^{m^{2}}}{z}},{\frac {y^{n^{2}}}{z}}\right)=0.$

Lorsque les sphéroïdes deviennent des sphères, les axes $a,b,c$ sont égaux, et par conséquent $m=1,$ $n=1\,;$ dans ce cas l’équation des surfaces coupantes sera

$\operatorname {F} \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)=0,$

c’est-à-dire une équation quelconque homogène entre les trois variable $x,y,z.$

Or il est aisé de prouver que cette équation renferme toutes les surfaces composées de lignes droites qui partent du centre des coordonnées ; car en prenant $y$ proportionnel à $x,$ ce qui donne une ligne droite dans le plan des $x$ et $y,$ on aura aussi $z$ proportionnel à $x,$ en sorte que la ligne tracée sur la surface et qui aura pour projection la droite dont il s’agit sera aussi elle-même une ligne droite ; cette propriété générale est évidemment celle des surfaces coniques ; par conséquent ces sortes de surfaces seront les seules trajectoires rectangles des sphères dont le centre coïncidera avec le sommet des cônes.