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16. Supposons, pour donner un exemple, que les surfaces à couper soient des sphéroïdes elliptiques semblables et ayant le même centre. L’équation finie d’un tel sphéroïde est, comme l’on sait,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

$a,b,c$ étant les trois demi-axes auxquels les coordonnées $x,y,z$ sont supposées parallèles.

Comme tous les sphéroïdes doivent être semblables, les rapports entre les axes $a,b,c$ seront constants ; ainsi

$a=mc,\quad b=nc,$

$m$ et $n$ étant des quantités constantes pour tous les sphéroïdes, et $c$ étant variable de l’un à l’autre ; donc l’équation générale de ces sphéroïdes sera

${\frac {x^{2}}{m^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}+z^{2}=c^{2},$

où $c$ sera le paramètre.

On différentiera donc en sorte que $c$ disparaisse, pour avoir l’équation différentielle commune à toutes les surfaces à couper ; et cette équation sera

${\frac {xdx}{m^{2}}}+{\frac {ydy}{n^{2}}}+zdz=0,$

laquelle, étant comparée à la formule générale

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy,$

donne

$\mathrm {X} =-{\frac {x}{m^{2}z}},\quad \mathrm {Y} =-{\frac {y}{n^{2}z}}.$

Par conséquent les équations à intégrer seront

$-{\frac {xdz}{m^{2}z}}+dx=0,\quad -{\frac {ydz}{n^{2}z}}+dy=0,$