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il ne s’agira que-de trouver $z$ en fonction de $x$ et $y$ d’après la condition

$1+\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q=\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

$\omega$ étant un angle donné constant ou variable.

Ainsi, en mettant ${\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {dz}{dy}}$ pour $p$ et $q,$ on aura pour le Problème proposé cette équation aux différences partielles du premier ordre

$1+\mathrm {X} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {dz}{dy}}=\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}}} {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}}}.$

Il en sera de même lorsque les surfaces à couper ne seront données que par une équation différentielle, mais dans laquelle le paramètre n’entrera pas.

15. Mais cette équation n’est intégrable, en général, par aucune méthode connue ; pour qu’elle le devienne, il faut supposer $\cos \omega =0$ et par conséquent $\omega =90^{\circ },$ ce qui est le cas des trajectoires rectangles ; elle se réduit alors à cette forme plus simple

$\mathrm {X} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {dz}{dy}}+1=0,$

laquelle est susceptible de la méthode exposée ci-dessus.

Suivant la règle du n^o 5, on intégrera donc les deux équations

$\mathrm {X} dz+dx=0,\quad \mathrm {Y} dz+dy=0,$

et, ayant réduit les intégrales à la forme

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

où $\alpha$ et $\beta$ sont les constantes arbitraires, on aura

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0$

pour l’intégrale de l’équation proposée, et par conséquent aussi pour l’équation finie des surfaces coupantes, la fonction désignée par la caractéristique $\operatorname {F}$ demeurant arbitraire.