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diculaires $f$ et $r$ rencontrent le plan des coordonnées $x,y,$ on aura

$h={\sqrt {(a-m)^{2}+(b-n)^{2}}},$

et, substituant les valeurs de $a,b,m,n,$

$h=z{\sqrt {(\mathrm {X} -p)^{2}+(\mathrm {Y} -q)^{2}}}.$

13. Or soit $\omega$ l’angle sous lequel on veut que les deux surfaces se coupent, il faudra que les deux perpendiculaires f et $r$ fassent entre elles l’angle $\omega \,;$ donc, dans le triangle rectiligne dont les côtés sont $f,r,$ et la base est $h,$ il faudra que $\omega$ soit l’angle du sommet ; de sorte que par le Théorème connu on aura

$h^{2}=f^{2}+r^{2}-2fr\cos \omega ,$

ce qui donne, par la substitution des valeurs de $h,f,r,$ l’équation

$(\mathrm {X} -p)^{2}+(\mathrm {Y} -q)^{2}=2+\mathrm {X^{2}+Y^{2}} +p^{2}+q^{2}$

$-2\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

c’est-à-dire, en développant les termes et effaçant ce qui se détruit,

$1+\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q-\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}=0.$

C’est l’équation qui renferme la condition du Problème.

14. Lorsque les surfaces à couper sont données par une équation finie, la formule précédente servira pour résoudre le Problème ; car, en éliminant le paramètre par la différentiation, on aura une équation différentielle de la forme supposée

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy,$

dans laquelle $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront des fonctions connues de $x,y,z\,;$ alors, l’équation des surfaces coupantes étant

$dz=pdx+qdy,$