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plus petite ou la plus grande de toutes les lignes qui d’un point donné peuvent être menées à la même surface, il s’ensuit que la valeur de $f$ devra être un maximum ou un minimum en faisant varier les coordonnées $x,y,z$ et regardant les quantités $a,b$ comme constantes. Ainsi l’on aura l’équation différentielle

$-(a-x)dx-(b-y)dy+zdz=0\,;$

mais l’équation à la surface donne

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy\,;$

donc on aura

$\left[\mathrm {X} z-(a-x)\right]dx+\left[\mathrm {Y} z-(b-y)\right]dy=0,$

d’où l’on tire les deux équations

$\mathrm {X} z-a+x=0,\quad \mathrm {Y} z-b+y=0,$

lesquelles donnent

$a=x+\mathrm {X} z,\quad b=y+\mathrm {Y} z,$

et par conséquent

$f=z\mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} .$

Maintenant, comme dans les points où les deux surfaces se coupent, elles doivent avoir les mêmes coordonnées, on pourra prendre aussi $x,y,z$ pour les coordonnées de la surface qui doit couper la proposée, et, si l’on représente par

$dz=pdx+qdy$

l’équation différentielle de cette surface, on aura de même, en nommant $r$ la perpendiculaire et $m,n$ les coordonnées qui déterminent le point où cette perpendiculaire coupe le plan des $x$ et $y,$ on trouvera, dis-je,

$m=x+pz,\quad n=y+qz,\quad r=z{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.$

Donc, si l’on désigne par $h$ la distance des deux points où les perpen-