Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/555

l’équation résultante sera l’intégrale de la proposée, laquelle contiendra toujours la fonction arbitraire désignée par $\varphi .$

8. Il est aisé maintenant d’appliquer la même méthode à toute équation qui contiendra autant de différences linéaires qu’on voudra ; on en trouvera toujours l’intégrale par des procédés semblables, à l’aide des intégrales de différentes équations aux différences ordinaires. Il serait superflu d’entrer là-dessus dans un plus grand détail.

9. Par la méthode que nous venons d’exposer on pourra résoudre tout Problème qui conduira à une équation aux différences partielles du premier ordre, lorsque la fonction cherchée sera, par la nature même de la question, une quantité très-petite.

Car, en négligeant les dimensions de $u$ plus hautes que la première, on parviendra toujours à une équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {du}{dz}}+\ldots =\mathrm {S+T} u,$

dans laquelle $\mathrm {X,Y,Z,\ldots ,S,T}$ seront des fonctions de $x,y,z,\ldots$ sans $u.$ Or cette équation n’est qu’un cas particulier de celles que nous avons intégrées.

La difficulté d’intégrer l’équation dont il s’agit se réduira à intégrer celles-ci aux différences ordinaires

${\begin{aligned}\mathrm {X} du-(\mathrm {S+T} u)dx&=0,\\\mathrm {Y} du-(\mathrm {S+T} u)dy&=0,\\\mathrm {Z} du-(\mathrm {S+T} u)dz&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}$

En combinant la première avec chacune des autres, on aura celles-ci

$\mathrm {Y} dx-\mathrm {X} dy=0,\quad \mathrm {Z} dx-\mathrm {X} dz=0,\ldots ,$

dans lesquelles la variable $u$ n’entre plus ; ainsi l’on en tirera par l’inté-