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et de là on aura celles de

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz$

en $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,$ valeurs qui seront de la forme

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=&\mathrm {L} d\alpha &+&\mathrm {M} d\beta &+&\mathrm {N} d\gamma ,\\\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=&\mathrm {L} 'd\alpha &+&\mathrm {M} 'd\beta &+&\mathrm {N} 'd\gamma ,\\\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=&\mathrm {L} ''d\alpha &+&\mathrm {M} ''d\beta &+&\mathrm {N} ''d\gamma .\end{alignedat}}$

Ainsi l’équation

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)+r(\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz)=0$

deviendra, par l’introduction des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ à la place de $x,y,z,$

$(p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} '')d\alpha +(p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} '')d\beta +(p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} '')d\gamma =0,$

ou bien

$d\alpha +{\frac {p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}d\beta +{\frac {p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}d\gamma =0,$

équation qui contient, comme l’on voit, les deux indéterminées ${\frac {q}{p}}$ et ${\frac {r}{p}}.$ Cette équation ne peut subsister, c’est-à-dire résulter de la différentiation d’une équation finie, qu’en n’y admettant pour variables que les trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Soit donc

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma )=0$

l’équation finie ; la différentielle sera de la forme

$\mathrm {Pd\alpha +Qd\beta +R} d\gamma =0,$

ou bien

$d\alpha +\mathrm {\frac {Q}{P}} d\beta +\mathrm {\frac {R}{P}} d\gamma =0\,;$

ainsi il faudra que l’on ait

${\frac {p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}=\mathrm {\frac {Q}{P}} ,\quad {\frac {p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}=\mathrm {\frac {R}{P}} ,$

équations auxquelles on pourra toujours satisfaire par le moyen des deux