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6. Considérons à présent l’équation à quatre variables $u,x,y,z,$ dont la forme est

$\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q+\mathrm {Z} r=\mathrm {U} ,$

en désignant par $p,q,r$ les différences partielles ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},$ et par $\mathrm {X,Y,Z,U}$ des fonctions quelconques de $u,x,y,z.$

On aura ici

$du=pdx+qdy+rdz\,;$

donc, multipliant cette équation par celle qui est donnée entre $p,q,r,$ on aura

$(\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q+\mathrm {Z} r)du=\mathrm {U} (pdx+qdy+rdz),$

ou bien

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)+r(\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz)=0,$

laquelle étant divisée par $p$ ne contiendra plus réellement que deux inconnues ${\frac {q}{p}},{\frac {r}{p}}\,;$ et la question sera réduite à déterminer ces deux inconnues en sorte que l’équation dont il s’agit devienne intégrable.

Supposons, à l’imitation de ce que nous avons fait plus haut,

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0\,;$

en intégrant ces équations, on aura trois équations finies entre $u,x,y,z$ qui contiendront trois constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ de sorte qu’on pourra mettre ces équations sous la forme

$\mathrm {A=\alpha ,\quad B=\beta ,\quad C} =\gamma ,$

où $\mathrm {A,B,C}$ seront des fonctions connues de $u,x,y,z.$

Il est clair qu’on peut, à la place des variables $x,y,z,$ introduire dans l’équation qu’il s’agit de rendre intégrable les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ regardées maintenant comme variables, et supposées telles que

$\alpha =\mathrm {A,\quad \beta =B,\quad \gamma =C} \,;$