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$f(\alpha ,\beta )$ peut être quelconque, la fonction $\operatorname {F} (\alpha ,\beta )$ pourra être aussi quelconque.

Mais on a supposé

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} \,;$

donc, remettant ces valeurs à la place de $\alpha$ et $\beta ,$ on aura l’équation finie

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0,$

laquelle donnera la valeur cherchée de $u$ en $x$ et $y,$ la fonction désignée par $\operatorname {F}$ demeurant arbitraire.

5. L’intégration de toute équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}=\mathrm {U} ,$

$\mathrm {X,Y,U}$ étant des fonctions quelconques de $u,x,y,$ se réduit donc à ce procédé fort simple.

On intégrera par les règles connues les équations différentielles

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,$

et, ayant réduit les deux intégrales à la forme

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

où $\mathrm {A,B}$ sont des fonctions de $u,x,y,$ et $\alpha ,\beta$ sont les deux constantes arbitraires introduites par l’intégration, on établira une équation quelconque entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qu’on pourra désigner par

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0,\quad {\text{ou bien par}}\quad \mathrm {A} =\varphi (\mathrm {B} ),$

les caractéristiques $\operatorname {F} ,\varphi$ désignant des fonctions quelconques, et cette équation sera l’intégrale complètes de la proposée.

De cette manière l’intégration de l’équation aux différences partielles est réduite à celle de deux équations aux différences ordinaires ; c’est tout ce qu’on peut désirer, dans le Calcul intégral des différences partielles, de le ramener à celui des différences totales et ordinaires.