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4. Faisant donc cette substitution dans l’équation

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)=0$

à laquelle il s’agit de satisfaire, elle deviendra

$\left(p{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}\right)d\alpha +\left(q{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}\right)d\beta =0,$

ou bien

$d\alpha +{\frac {q{\dfrac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\dfrac {d\mathrm {A} }{dy}}}{p{\dfrac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\dfrac {d\mathrm {B} }{dx}}}}=0.$

Comme cette équation ne contient que les deux différences $d\alpha$ et $d\beta ,$ elle ne peut subsister à moins que le coefficient de $d\beta$ ne soit aussi une simple fonction de $\alpha$ et $\beta \,;$ par conséquent il faudra qu’en substituant dans ce coefficient pour $x$ et $y$ leurs valeurs en $\alpha ,\beta ,u,$ tirées des équations

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

la quantité $u$ disparaisse d’elle-même.

On aura donc, en dénotant par la caractéristique $f$ une fonction quelconque,

${\frac {q{\cfrac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\cfrac {d\mathrm {A} }{dy}}}{p{\cfrac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\cfrac {d\mathrm {B} }{dx}}}}=f(\alpha ,\beta ),$

condition à laquelle on pourra toujours satisfaire par le moyen de la quantité arbitraure ${\frac {q}{p}}\,;$ alors l’équation

$d\alpha +f(\alpha ,\beta )d\beta =0$

sera toujours intégrable, étant multipliée par un facteur convenable ; et l’intégrale sera

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0,$

en dénotant par $\operatorname {F}$ une autre fonction de $\alpha$ et $\beta \,;$ et, comme la fonction