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on ait des équations identiques qui seront

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}=0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}=0,\end{aligned}}$

et qui donneront

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}=-{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}-{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }},\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}=-{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}-{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}.\end{aligned}}$

Ainsi les différentielles $d\alpha$ et $d\beta$ se trouveront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}d\alpha =&{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)+{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du),\\d\beta =&{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)+{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du),\end{aligned}}$

d’où l’on tirera

${\begin{aligned}\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=&{\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {T} }}\left({\frac {d\mathrm {B} }{dy}}d\alpha -{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}d\beta \right),\\\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=&\mathrm {\frac {U}{T}} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx}}d\beta -{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}d\alpha \right),\end{aligned}}$

en supposant

$\mathrm {T} ={\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}.$

Je conclus de là que, si à la place des variables $x$ et $y$ on veut introduire les variables $\alpha$ et $\beta$ telles que

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} ,$

dans les formules

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy,$

elles deviendront de la forme précédente, dans laquelle il ne paraît que les deux différences $d\alpha$ et $d\beta .$