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équation qui étant divisée par $p$ ne contiendra plus qu’une seule inconnue ${\frac {q}{p}}.$

3. Je suppose maintenant

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=o\,;$

j’ai deux équations différentielles du premier ordre entre les trois variables $u,x,$$y\,;$ et les intégrales complètes de ces équations contiendront deux constantes arbitraires $\alpha$ et $\beta ,$ en sorte qu’on aura

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions données des trois variables $x,y,u.$ Ainsi, en différentiant et regardant $\alpha$ et $\beta$ comme variables, on aura

${\begin{aligned}d\alpha =&{\frac {d\mathrm {A} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}dy,\\d\beta =&{\frac {d\mathrm {B} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}dy.\end{aligned}}$

Mais, puisque

$\mathrm {A} =\alpha \quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =\beta$

sont les intégrales des équations

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,$

$\alpha$ et $\beta$ étant les constantes arbitraires, il faudra que ces équations coïncident avec les précédentes en y faisant

$d\alpha =0,\quad d\beta =0\,;$

par conséquent il faudra qu’en substituant pour $dx$ et $dy$ leurs valeurs ${\frac {\mathrm {X} du}{\mathrm {U} }},$${\frac {\mathrm {Y} du}{\mathrm {U} }},$ tirées des mêmes équations, dans celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}dy=0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}dy=0,\end{aligned}}$