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ont eu pour objet l’intégration de ce genre d’équations ; et elles ont produit différentes méthodes plus ou moins générales et plus ou moins utiles. Une des plus étendues et des plus simples tout à la fois est, je crois, celle que j’ai donnée dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1779^[1], et qui apprend à intégrer toutes les équations aux différences partielles du premier ordre, dans lesquelles ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire. Mais, comme cette méthode n’y est exposée qu’en passant et presque sans démonstration, j’ai cru qu’il serait avantageux aux progrès du Calcul intégral de la présenter de nouveau de la manière la plus directe et avec toute la généralité dont elle est susceptible. C’est l’objet de ce Mémoire, qui contiendra aussi de nouvelles recherches sur le Problème des trajectoires.

1. On appelle différences partielles celles qui résultent de la différentiation d’une fonction de plusieurs variables, en y faisant varier chacune des variables à part. Ainsi, regardant $u$ comme une fonction des variables $x,y,z,\ldots ,$ la différentielle complète $du$ sera de la forme

$pdx+qdy+rdz+\ldots ,$

et les différents termes $pdx,qdy,rdz,\ldots$ de cette différentielle seront les différences partielles de $u$ du premier ordre. On a coutume de représenter les coefficients $p,q,r,\ldots$ des différences $dx,dy,dz,\ldots$ dans la différentielle de $u$ par ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},\ldots \,;$ de sorte que l’expression complète de $du$ sera

${\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy+{\frac {du}{dz}}dz+\ldots .$

Si donc on a une équation entre

$u,\ \ x,\ \ y,\ \ z,\ldots ,\ \ {\frac {du}{dx}},\ \ {\frac {du}{dy}},\ \ {\frac {du}{dz}},\ldots ,$

ce sera une équation aux différences partielles du premier ordre ; et, si

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 585.