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prise pour l’unité), et même beaucoup plus petites que les quantités du premier ordre $x,y,z,r,s,u\,;$ et il en sera de même des quantités $\lambda ,\mu ,\nu .$

Soit $p'$ la valeur de $p$ lorsque $a,b$ et $c$ sont nuls, c’est-à-dire la distance du centre de la Lune à la Terre, ou le rayon vecteur de l’orbite réelle de la Lune, on aura

$p'={\sqrt {(1+x)^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et par conséquent

$p={\sqrt {p'^{2}-2\lambda (1+x)-2\mu y+2\nu z+\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}.$

Donc, en ne poussant l’approximation que jusqu’aux secondes dimensions de $\lambda ,\mu ,\nu ,$ on aura

${\frac {1}{p}}={\frac {1}{p'}}+{\frac {\lambda (1+x)+\mu y-\nu z}{p'^{3}}}-{\frac {\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}{2p'^{3}}}+{\frac {3\left[\lambda (1+x)+\mu y-\nu z\right]^{2}}{2p'^{5}}}\,;$

multipliant par $dm$ et ensuite intégrant relativement à la caractéristique $\mathbf {S} ,$ laquelle ne regarde que la variabilité de $a,b,c,$ on aura

${\frac {\mathbf {S} dm}{p}}={\frac {\mathbf {S} dm}{p'}}+{\frac {(1+x)\mathbf {S} \lambda dm+y\mathbf {S} \mu dm-z\mathbf {S} \nu dm}{p'^{3}}}-{\frac {\mathbf {S} \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)dm}{2p'^{3}}}$

$+{\frac {3}{2p'^{5}}}{\Bigl [}(1+x)^{2}\mathbf {S} \lambda ^{2}dm+y^{2}\mathbf {S} \mu ^{2}dm+z^{2}\mathbf {S} \nu ^{2}dm{\Bigr .}$

${\Bigl .}+2(1+x)y\mathbf {S} \lambda \mu dm-2(1+x)z\mathbf {S} \lambda \nu dm-2yzy\mathbf {S} \mu \nu dm{\Bigr ]}.$

Il ne s’agit donc plus que de remettre à la place de $\lambda ,\mu ,\nu$ leurs valeurs du numéro précédent, en faisant sortir hors du signe $\mathbf {S}$ les quantités $r,s,u$ qui doivent être regardées comme constantes dans ces intégrations.

48. On voit d’abord que les valeurs des trois intégrales $\mathbf {S} \lambda dm,\mathbf {S} \mu dm,$$\mathbf {S} \nu dm$ renfermeront dans tous leurs termes les quantités $\mathbf {S} adm,\mathbf {S} bdm,\mathbf {S} cdm,$ qui sont nulles par les propriétés du centre de gravité, puisqu’on suppose que ce centre est l’origine des coordonnées $a,b,c\,;$ ainsi l’on aura

$\mathbf {S} \lambda dm=0,\quad \mathbf {S} \mu dm=0,\quad \mathbf {S} \nu dm=0.$

Pour avoir la valeur des autres intégrales il faut commencer par chercher celles de $\lambda ^{2},\mu ^{2},\nu ^{2},\lambda \mu ,\ldots \,;$ et comme les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ ne sont