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on aura

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )\left(ma^{2}+m'a'^{2}+m''a''^{2}+\ldots \right)\\&\quad =mm'b^{2}+mm''b'^{2}+m'm''b''^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Or il est visible que $a,a',a'',\ldots$ sont les distances des masses $m,m',$$m'',\ldots$ au centre de gravité, et $b,b',b'',\ldots$ sont les distances entre les masses $m$ et $m',$ $m$ et $m'',$ $m'$ et $m'',\ldots .$ Donc, en divisant l’équation précédente par $m+m'+m''+\ldots ,$ on aura le Théorème proposé.

Corollaire.

Puisque

$mp+m'p'+m''p''+\ldots =0,$

on aura

${\begin{aligned}&m(p-f)^{2}+m'(p'-f)^{2}+m''(p''-f)^{2}+\ldots \\&\quad =mp^{2}+m'p'^{2}+m''p''^{2}+\ldots +(m+m'+m''+\ldots )f^{2},\end{aligned}}$

quelle que soit la quantité $f.$ Donc aussi

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )\left[m(p-f)^{2}+m'(p'-f)^{2}+m''(p''-f)^{2}+\ldots \right]\\&\quad =(m+m'+m''+\ldots )\left(mp^{2}+m'p'^{2}+m''p''^{2}+\ldots \right)\end{aligned}}$

$+(m+m'+m''+\ldots )^{2}f^{2}\,;$

et, mettant pour

$(m+m'+m''+\ldots )\left(mp^{2}+m'p'^{2}+m''p''^{2}+\ldots \right)$

sa valeur

$mm'(p-p')^{2}+mm''(p-p'')^{2}+m'm''(p'-p'')^{2}+\ldots$

trouvée dans le numéro précédent, on aura l’équation

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )\left[m(p-f)^{2}+m'(p'-f)^{2}+m''(p''-f)^{2}+\ldots \right]\\&\quad =mm'(p-p')^{2}+mm''(p-p'')^{2}+m'm''(p'-p'')^{2}+\ldots \end{aligned}}$

$+(m+m'+m''+\ldots )^{2}f^{2}.$

On trouvera de même, en prenant une autre quantité quelconque $g,$ l’équation

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )\left[m(q-g)^{2}+m'(q'-g)^{2}+m''(q''-g)^{2}+\ldots \right]\\&\quad =mm'(q-q')^{2}+mm''(q-q'')^{2}+m'm''(q'-q'')^{2}+\ldots \end{aligned}}$

$+(m+m'+m''+\ldots )^{2}g^{2}.$