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donc, développant cette puissance par la même formule et faisant en même temps $i$ infiniment petit, on aura

$m=1+{\frac {\log m}{\gamma }}+{\frac {(\log m)^{2}}{2\gamma ^{2}}}+{\frac {(\log m)^{3}}{2.3\gamma ^{3}}}+\ldots ,$

ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

Halley est, je crois, le premier qui ait donné cette manière également simple et ingénieuse de parvenir aux expressions analytiques des logarithmes par les nombres, et des nombres par les logarithmes. (Voyez les Transactions philosophiques, n^o 216.)

22. Je finirai par faire remarquer que si l’on élève la quantité $1+z$ à une puissance quelconque $t,$ et qu’on veuille avoir la série qui exprime cette puissance, ordonnée par rapport aux puissances mêmes de l’exposant $t,$ on aura

$(1+z)^{t}=1+t\zeta +{\frac {t^{2}\zeta ^{2}}{2}}++{\frac {t^{3}\zeta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

$\zeta$ étant le logarithme hyperbolique de $1+z.$

Car, faisant dans la série du numéro précédent

$m=(1+z)^{t},\quad \gamma =1,$

on aura

$\log m=\operatorname {log\,hyp} (1+z)^{t}=t\operatorname {log\,hyp} (1+z)=t\zeta \,;$

donc, etc.