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lorsque $2^{\lambda }$ est un très-grand nombre. Donc, si l’on fait

${\frac {1}{2^{\lambda }}}=i,$

en sorte que $i$ soit une fraction fort petite, on aura

$\log m={\frac {\gamma \left(m^{i}-1\right)}{i}}.$

Soit

$m=1+z\,;$

on aura par le Théorème cité

$m^{i}=1+iz+{\frac {i(i-1)}{2}}z^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}z^{3}+\ldots ,$

et lorsque $i$ est un nombre très-petit, on a, en rejetant les termes affectés de $i^{2},i^{3},\ldots ,$

$m^{i}=1+i\left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;$

donc

$\log(1+z)=\gamma \left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;$

et si l’on fait $\gamma =1,$ on a

$\operatorname {log\,hyp} (1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots ,$

comme on le trouve par le Calcul intégral.

21. Réciproquement donc, puisque

$\log m={\frac {\gamma (m^{i}-1)}{i}},$

on aura

$m^{i}=1+{\frac {i\log m}{\gamma }},$

et de là

$m=\left(1+{\frac {i\log m}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{i}}\,;$