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le logarithme $n'''^{\ldots }$ d’un nombre $m'''^{\ldots },$ très-peu différent de l’unité, sera simplement $m'''^{\ldots },-1$ (17), c’est-à-dire qu’on aura

$\log(1+\xi )=\xi ,$

lorsque $\xi$ est une quantité infiniment petite. C’est la propriété connue des logarithmes hyperboliques. Et de là on voit en même temps comment ces sortes de logarithmes, qu’on appelle aussi naturels, ont pu se présenter les premiers à leur inventeur Neper, quoique d’ailleurs notre système décimal paraisse indiquer naturellement les logarithmes tabulaires ou de Briggs, dans lesquels l’unité est le logarithme de $10.$

Ainsi, dans les formules du n^o 16, $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1$ sera le logarithme hyperbolique de $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}},$ et si l’on nomme $h$ le logarithme hyperbolique de $a$ ou de $10,$ le terme $h^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de la série

$h,h',h'',\ldots$

des logarithmes correspondants aux nombres

$a,a',a'',\ldots$

sera évidemment $b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h,$ puisque ces termes procèdent par une bissection continuelle. On aura donc

$b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h=a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1,$

et de là

$h={\frac {a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}{b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}}={\frac {1}{\gamma }}\,;$

de sorte que le nombre réciproque du nombre $\gamma$ du système tabulaire sera le logarithme hyperbolique de $10\,;$ et l’on aura par ce moyen

$\operatorname {log\,hyp} 10=2{,}30258\ 50929\ 94045.$

20. Au reste cette méthode de trouver les logarithmes peut être facilement traduite en formule au moyen du Théorème de Newton pour la formation des puissances des binômes. Car, suivant le n^o 17, on a

$n=\log m=2^{\lambda }\times \gamma ({\sqrt[{2\lambda }]{m}}-1),$