Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/529

savoir

$\gamma ={\frac {0{,}5551\ 11512\ 31257\ 827}{1{,}2781\ 91493\ 20032\ 35}},$

ce qui se réduit à

$\gamma =0{,}4342\ 94481\ 90325\ 18.$

17. Cette valeur de $\gamma$ étant ainsi trouvée servira pour déterminer les logarithmes de tous les nombres. Car, si le nombre donné dont on cherche le logarithme est $m,$ il n’y aura qu’à former la série $m,m',m'',\ldots$ par de semblables extractions de la racine carrée, en sorte que

$m'={\sqrt {m}},\quad m''={\sqrt {\sqrt {m}}},\ldots ,$

et, dès qu’on sera parvenu ainsi a une racine ou terme $m'''^{\ldots }$ qui aura avant les notes décimales significatives autant de zéros qu’on veut avoir de ces notes significatives, on aura sur-le-champ le terme correspondant $n'''^{\ldots }$ de la série

$n,\ \ n',\ \ n'',\ldots$

des logarithmes par la formule (11)

$n'''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right).$

Or les termes de cette dernière série sont formés comme ceux de la série

$b,\ \ b',\ \ b'',\ldots$

par une bissection continuelle du premier terme $n\,;$ en sorte que, nommant l’exposant du terme $n'''^{\ldots },$ on aura

$n'''^{\ldots }={\frac {n}{2^{\lambda }}},$

et par conséquent

$n=2^{\lambda }\times n'''^{\ldots }.$

Donc, puisque

$\beta =0,\quad \alpha =1,$

on aura

$n=2^{\lambda }\times \gamma \left(m'''^{\ldots }-1\right).$

Ce sera le logarithme du nombre $m$.