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formée suivant cette loi, que

$\mathrm {Y} =n$

donne

$y=n',$

ensuite

$\mathrm {Y} =n'$

donne

$y=n'',$

et ainsi de suite. Ainsi, en remontant de ce terme connu vers le précédent, on trouvera la valeur cherchée de $m$.

12. Nous avons supposé que l’équation donnée entre $\varphi (x)$ et $\varphi (\mathrm {X} ),$ c’est-à-dire entre $y$ et $\mathrm {Y}$ (2), était indépendante de $x\,;$ mais il n’est pas difficile de voir que la même méthode peut servir également lorsque cette équation contiendra aussi $x$ d’une manière quelconque seulement on ne pourra pas dans ce cas représenter la relation entre $y$ et $\mathrm {Y}$ par une courbe ; mais il faudra nécessairement que cette relation soit exprimée algébriquement. Il ne s’agira alors que de substituer, à chaque opération, dans l’équation entre $x,y$ et $\mathrm {Y} ,$ la valeur de $x$ déjà trouvée dans l’opération correspondante et relative à $x\,;$ ainsi, après avoir trouvé la valeur $\alpha$ de $x,$ laquelle rend $x$=X, on mettra cette valeur pour $x$ dans l’équation en $y$ et $\mathrm {Y} ,$ et, faisant $y=\mathrm {Y} ,r$ on en tirera la valeur $\beta$ de $y\,;$ et ainsi du reste.

Enfin il pourrait arriver que $\gamma$ se trouvât $=0\,;$ alors pour

$x=\alpha +\xi$

on aurait (5)

$y=\beta +\delta \xi ^{2},$

et le Problème serait toujours résoluble par les mêmes principes.

13. La méthode que nous venons d’exposer n’est autre chose dans le fond qu’une généralisation de celle qui a été employée par Briggs dans la construction de sa Table des logarithmes. (Voyez son Ouvrage intitulé : Arithmetica logarithmica.) Cette méthode de Briggs est peu connue, et