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7. Or je remarque que, si les termes de la série

$a,\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots$

approchent peu à peu de l’égalité, ils doivent approcher en même temps de la quantité $\alpha$ trouvée ci-dessus (3) ; car, puisque $\alpha$ est la valeur de $x,$ qui rend $\mathrm {X} =x,$ il s’ensuit que si par exemple $\mathrm {A} '=\alpha$ on aura aussi $\mathrm {A} ''=\alpha ,$ par conséquent $\mathrm {A'=A''}$ et vice versâ.

Et comme, lorsque $x=\mathrm {X} =\alpha ,$ on a aussi $y=\mathrm {Y} =\beta ,$ il s’ensuit encore que les termes de la série

$b,\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$

approcheront aussi en même temps de l’égalité et de la quantité $\beta .$

En poussant donc les deux séries assez loin pour qu’on parvienne à des termes $\mathrm {A} '''^{\ldots },\mathrm {B} '''^{\ldots }$ peu différents de $\alpha$ et de $\beta ,$ on pourra supposer (5)

$\mathrm {A} '''^{\ldots }=\alpha +\xi ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \xi .$

De là on aura

$\xi =\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha \right)\,;$

d’où l’on tire

$\gamma ={\frac {\mathrm {B} '''^{\ldots }-\beta }{\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha }}.$

Ainsi l’on connaîtra la valeur du coefficient $\gamma .$

8. Si la série

$a,\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$

était divergente, alors elle serait convergente de l’autre côté ; il faudrait donc continuer cette série en sens contraire suivant la même loi, c’est-àdire en sorte que chaque terme soit une fonction de celui qui le précédera à gauche, telle que $\mathrm {X}$ l’est de $x$.

Ainsi l’on fera dans ce cas

$\mathrm {X} =a,$

et l’on cherchera la valeur de $x$ qui en résulte et qu’on nommera $a'\,;$ on fera ensuite

$\mathrm {X} =a',$