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2. Soit

$\varphi (x)=y,\quad \varphi (\mathrm {X} )=\mathrm {Y} \,;$

on aura donc une équation entre $x$ et $\mathrm {X} ,$ et une autre entre $y$ et $\mathrm {Y} \,;$ et l’on pourra représenter ces équations par deux courbes, dans l’une desquelles $x$ sera l’abscisse, $\mathrm {X}$ l’ordonpée, et dans l’autre $y$ sera l’abscisse et $\mathrm {Y}$ l’ordonnée.

3. Si l’on fait $\mathrm {X} =x,$ il est clair qu’on aura aussi $\mathrm {Y} =y\,;$ alors l’équation entre $x$ et $\mathrm {X}$ se changera en une équation en $x$ seul, par laquelle on déterminera $x\,;$ et de même l’équation entre $y$ et $\mathrm {Y}$ se réduira en une équation en $y$ seul, laquelle servira à déterminer $y.$ Nous dénoterons par $\alpha$ et $\beta$ les valeurs de $x$ et $y$ trouvées par ces deux équations.

4. Si la relation entre $x$ et $\mathrm {X} ,$ au lieu d’être donnée par une équation algébrique, était simplement représentée par une courbe dont $x$ et $\mathrm {X}$ fussent les deux coordonnées, alors, pour avoir la valeur de $\alpha ,$ il faudra chercher mécaniquement le point de la courbe dont l’abscisse et l’ordonnée seront égales. On trouvera de même la valeur de $\beta$ dans la courbe dont $y$ et $\mathrm {Y}$ seront les coordonnées.

5. Donc, puisque $x=\alpha$ donne $y=\beta ,$ il s’ensuit que $x=\alpha +\xi$ (en supposant $\xi$ une quantité assez petite) donnera

$y=\beta +\gamma \xi +\delta \xi ^{2}+\ldots \,;$

et, prenant $\xi$ assez petite pour que $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots$ puissent être négligées, on aura simplement

$y=\beta +\gamma \xi .$

Ainsi, pour

$x=\alpha +\xi ,$

on aura

$y=\beta +\gamma \xi ,$

en supposant $\xi$ si petite que les puissances $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots$ puissent être censées nulles, eu égard au degré de précision auquel on veut porter le calcul. Mais il faudra déterminer le coefficient $\gamma \,;$ et pour cela il est nécessaire