Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/513

laquelle devra se réduire à

$d^{2}\mathrm {U} =0\,;$

de sorte qu’il faudra que l’on ait en même temps

$\delta d\mathrm {U} =0.$

En continuant ce raisonnement pour les différences des ordres suivants jusqu’au $n$^ième, on trouvera de la même manière les équations

$\delta d^{2}\mathrm {U} =0,\quad \delta d^{3}\mathrm {U} =0,\ldots ,\quad \delta d^{n-1}\mathrm {U} =0.$

Or on sait par la Théorie des variations que $\delta d\mathrm {U}$ est la même chose que $d\delta \mathrm {U} ,$ que $\delta d^{2}\mathrm {U}$ est la même chose que $d^{2}\delta \mathrm {U} ,$ et ainsi de suite, puisque les caractéristiques $d$ et $\delta$ se rapportent à des variables indépendantes entre elles.

Donc les équations de condition pour que l’intégrale $\mathrm {U} =0$ satisfasse encore à l’équation différentielle proposée, après la substitution de $x+\xi$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques de cette intégrale, seront

$\delta \mathrm {U} =0,\quad d\delta \mathrm {U} =0,\quad d^{2}\delta \mathrm {U} =0,\ldots ,\quad d^{n-1}\delta \mathrm {U} =0\,;$

et comme le nombre de ces équations est $n,$ et par conséquent égal il celui des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ devenues maintenant variables, on y pourra satisfaire par la détermination de ces variables ; et la quantité $\xi$ demeurera par conséquent indéterminée, et pourra être supposée tout ce qu’on voudra.

16. En supposant

$\mathrm {U=X+Y} x+\ldots -y$

comme dans le n^o 4, et faisant après toutes les différentiations

$\xi =-x,$

on aura les mêmes résultats que dans ce numéro.