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Et la même équation étant ajoutée à la première, ou retranchée après les avoir multipliées respectivement par $\sin mx,\cos mx,$ ou réciproquement, il viendra ces deux-ci

$da-2ixbdh=0,\quad db+2ixadh=0.$

Donc, en intégrant, on aura

$h=\mathrm {H} +x,\quad a=\mathrm {B} \sin \left(ix^{2}+\beta \right),\quad b=\mathrm {B} cos\left(ix^{2}+\beta \right),$

$\mathrm {H,B} ,\beta$ étant des constantes arbitraires.

Ces valeurs étant substituées dans les expressions de $y$ et $z$ sans arcs de cercle, savoir

${\begin{aligned}y=&a\sin \left[(1+2ih)x\right]+b\cos \left[(1+2ih)x\right],\\z=&a\cos \left[(1+2ih)x\right]-b\sin \left[(1+2ih)x\right],\end{aligned}}$

les transforment en celles-ci

$y=\mathrm {B} \cos \left[(1+2i\mathrm {H} )x+ix^{2}-\beta \right],\quad z=-\mathrm {B} \sin \left[(1+2i\mathrm {H} )x+ix^{2}-\beta \right].$

Il y a ici une constante arbitraire de plus qu’il ne faut ; pour la déterminer, il suffit de substituer ces valeurs de $y$ et $z$ dans une des deux équations différentielles. Cette substitution donnera

$1+2i\mathrm {H} +2ix=1+2ix\,;$

donc

$\mathrm {H} =0.$

Par conséquent les vraies valeurs seront

$y=\mathrm {B} \cos \left(x+ix^{2}-\beta \right),\quad z=-\mathrm {B} \sin \left(x+ix^{2}-\beta \right),$

lesquelles s’accordent avec les intégrales exactes données ci-dessus, en faisant

$\mathrm {B} =\mathrm {A} ,\quad \beta =90^{\circ }-\alpha .$

On pourrait être surpris que des intégrales simplement approchées aient donné des intégrales rigoureuses par l’élimination des arcs de cercle ; la raison en est qu’en continuant l’approximation, on n’aurait trouvé que