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Faisant ensuite

$y=a\sin mx+b\cos mx+iy',\quad z=a\cos mx-b\sin mx+iz',$

on trouvera, aux quantités de l’ordre de $i$ près,

$y'=x^{2}(a\cos mx-b\sin mx),\quad z'=-x^{2}(a\sin mx+b\cos mx),$

et ainsi de suite.

Pour éliminer de ces expressions de $y$ et $z$ les arcs $x,$ on fera varier les trois constantes $a,b,h,$ en regardant l’une des deux équations différentielles comme du second ordre. On aura donc d’abord pour l’expression de $y,$ comparée avec celle du n^o 4,

$\mathrm {X} =a\sin mx+b\cos mx,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =i(a\cos mx-b\sin mx),$

et, supposant l’équation en $y$ du second ordre, on aura, par les formules du même numéro, ces deux équations de condition, dans lesquelles $dm=2idh,$

$\sin mxda+\cos mxdb+2ix(a\cos mx-b\sin mx)dh=0,$

$m\cos mxda-m\sin mxdb-2imx(a\sin mx+b\cos mx)dh$

$+2i(a\cos mx-b\sin mx)dh=2i(a\cos mx-b\sin mx)dx.$

Ensuite l’expression de $z$ comparée avec la même formule du n^o 4 donnera

$\mathrm {X} =a\cos mx-b\sin mx,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =-i(asinmx+b\cos mx),$

d’où l’on tire l’équation de condition

$\cos mxda-\sin mxdb-2ix(a\sin mx+b\cos mx)dh=0.$

Cette équation comparée à la seconde des deux précédentes la réduit à

$2i(a\cos mx-b\sin mx)dh=2i(a\cos mx-b\sin mx)dx,$

savoir

$dh=dx.$