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lement qu’une des équations différentielles soit d’un ordre plus élevé d’une unité qu’elle n’est sous la forme donnée. Car il est visible qu’on pourrait toujours éliminer des équations proposées les fonctions algébriques de $x$ par le moyen de la différentielle d’une quelconque de ces équations, et que l’élimination aura lieu également, en y changeant $x$ en $x+h.$

Cette méthode sera utile dans la Théorie des Planètes pour déterminer les variations de leurs éléments en ayant égard à l’action d’un milieu peu résistant.

13. Pour en montrer l’usage par un exemple très-simple, soient les deux équations

${\frac {dy}{dx}}=(1+2ix)z,\quad {\frac {dz}{dx}}=-(1+2ix)y,$

dont on sait que les intégrales exactes et complètes sont de la forme

$y=\mathrm {A} \sin \left(x+ix^{2}+\alpha \right),\quad z=\mathrm {A} \cos \left(x+ix^{2}+\alpha \right).$

Si on les intègre par approximation, en regardant $i$ comme un coefficient très-petit, et négligeant d’abord les termes affectés de $i,$ on trouvera que les intégrales contiendront des puissances de $x.$ Pour pourvoir donc faire disparaître ces fonctions algébriques, on commencera par substituer $x+h$ au lieu de $x,$ et faisant, pour abréger,

$1+2ih=m,$

on aura ces transformées

${\frac {dy}{dx}}=mz+2ixz,\quad {\frac {dz}{dx}}=-my+2ixy.$

En intégrant d’abord celles-ci

${\frac {dy}{dx}}=mz,\quad {\frac {dz}{dx}}=-my,$

on trouve

$y=a\sin mx+b\cos mx,\quad z=a\cos mx-b\sin mx.$