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contient point de fonctions transcendantes de $x$ qui puissent en donner d’algébriques par la différentiation (1) ; or, si la proposée contenait de pareilles fonctions, elles devraient aussi se rencontrer dans l’intégrale. Ainsi, en éliminant l’$x$ des fonctions algébriques à l’aide de l’équation proposée et de sa différentielle, on aura le même résultat que si dans ces fonctions il y avait $x+h$ à la place de $x,$ $h$ étant une constante quelconque. D’où il s’ensuit que, si dans l’équation différentielle donnée de l’ordre $n$ on change l’$x$ des fonctions algébriques en $x+h,$ on aura une équation qui sera l’intégrale complète de celle de l’ordre $n+1$ sans fonctions algébriques, $h$ étant la constante arbitraire. La valeur complète de $y$, qui satisfera à la proposée après la substitution dont il s’agit, sera donc aussi l’intégrale finie et complète de celle qui n’aurait contenu aucune fonction algébrique de $x,$ les constantes arbitraires étant $h,a,$ $b,c,\ldots .$ Ainsi le Problème rentre dans celui que nous avons résolu.

Il est clair au reste qu’on aurait également l’intégrale complète dont il s’agit en substituant immédiatement $x+h$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques de l’intégrale de la proposée ; mais on tomberait alors dans le cas dont nous avons parlé dans le n^o 7, et qu’il faut éviter.

12. Lors donc que l’arc $x$ entrera dans l’équation différentielle de $x$ et $y,$ et qu’on voudra éliminer cet arc de l’expression complète de $y,$ il faudra commencer par substituer dans les fonctions algébriques de $x$ de l’équation différentielle $x+h$ au lieu de $x,$ $h$ étant une constante arbitraire ensuite on en cherchera l’intégrale à l’ordinaire, ayant soin de faire en sorte que la constante $h$ entre aussi dans les fonctions transcendantes qui multiplient les puissances de $x\,;$ on opérera enfin sur cette intégrale par la règle du n^o 4, en faisant varier toutes les constantes arbitraires $h,a,b,c,\ldots$ et supposant que l’équation différentielle qui y répond soit d’un ordre plus élevé d’une unité que la proposée.

Si l’on avait deux ou plusieurs équations différentielles en $x,y,z,\ldots ,$ lesquelles continssent aussi l’arc $x$ sous la forme algébrique, on substituerait pareillement $x+h$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques, et l’on traiterait les intégrales par la même méthode, en supposant seu-