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L’intégrale sans arcs de cercle sera donc

$y=\mathrm {X} ,$

savoir, en mettant pour $a$ et $b$ les valeurs qu’on vient de trouver,

$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}+i\mathrm {A} ^{2}e^{2\mathrm {B} x-2ix^{2}}+i^{2}\mathrm {A} ^{3}e^{3\mathrm {B} x-3ix^{2}}+\ldots .$

En effet l’intégrale exacte de la proposée est

$y={\frac {\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}}{1-i\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}}}.$

On voit donc que, si $\mathrm {B}$ a une valeur négative et $i$ une valeur positive $<{\frac {1}{\mathrm {A} }},$ la valeur de $y$ sera toujours positive et $<{\frac {\mathrm {A} }{1-i\mathrm {A} }},$ tant que $x$ sera positive, quoique là première intégrale avec des arcs de cercle eût pu d’abord faire croire que cette valeur ne serait point renfermée dans des bornes.

11. Lorsque l’équation différentielle contient elle-même des arcs de cercle, il semble que l’intégrale devrait en contenir nécessairement ; il y a cependant des cas où cette conclusion serait fausse ; ainsi il est important d’avoir aussi un moyen pour les faire disparaître des intégrales de ces sortes d’équations différentielles.

Il est évident que, si l’on a une équation différentielle d’un ordre quelconque $n$ entre $y$ et $x,$ dans laquelle $x$ entre sous la forme algébrique, on pourra toujours en déduire une équation de l’ordre $n+1,$ qui ne contiendra aucune fonction algébrique de $x\,;$ car il n’y aura qu’a éliminer l’$x$ de ces fonctions, par le moyen de la proposée et de sa différentielle. Il n’y aura donc qu’à regarder cette équation de l’ordre $n+1$ comme l’équation donnée, et appliquer à son intégrale la méthode exposée.

Mais, sans chercher cette nouvelle équation, il suffira de considérer que, dans la différentielle de l’équation proposée, les fonctions algébriques de $x,$ne peuvent venir que des fonctions de la même espèce qui se trouvent dans la proposée ; car on suppose toujours que l’intégrale ne