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10. Pour le faire disparaître s’il est possible, on remarquera d’abord que, l’équation différentielle n’étant que du second ordre, il sufl’it d’avoir égard, dans l’intégrale, aux termes qui contiennent $x$ et $x^{2}.$ Et, comparant celle qu’on vient de trouver avec la formule générale du n^o 1, on aura

$\mathrm {X} =ae^{bx}+ia^{2}e^{2bx}+i^{2}a^{3}e^{3bx}+\ldots ,\quad \mathrm {Y} =0,$

$\mathrm {Z} =-iae^{bx}-2i^{2}a^{2}e^{2bx}-\ldots .$

d’où l’on tire (3) ces deux équations de condition en $a$ et $b$

$\left(e^{bx}+2iae^{2bx}+3i^{2}a^{2}e^{3bx}+\ldots \right)da+\left(axe^{bx}+2ia^{2}xe^{2bx}+3i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)db=0,$

$\left(e^{bx}+4iae^{2bx}+9i^{2}a^{2}e^{3bx}+\ldots \right)bda+\left(axe^{bx}+4ia^{2}xe^{2bx}+9i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)bdb$

$+\left(ae^{bx}+2ia^{2}xe^{2bx}+3i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)db=-2\left(iae^{bx}+2i^{2}a^{2}e^{2bx}+\ldots \right)dx.$

La première se réduit à

$da+axdb=0,$

et la seconde devient par là

$\left(ae^{bx}+2ia^{2}e^{2bx}+3i^{2}a^{3}e^{3bx}+\ldots \right)db=-2i\left(ae^{bx}+2ia^{2}e^{2bx}+\ldots \right)dx,$

laquelle donne évidemment

$db=-2idx,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$b=\mathrm {B} -2ix,$

Substituant dans la première valeur de $db,$ on aura

${\frac {da}{a}}=2ixdx,$

et de là

$a=\mathrm {A} e^{ix^{3}},$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant les deux nouvelles constantes arbilraires.