Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/504

9. Soit proposée l’équation différentielle

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {1}{y}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}-{\frac {i}{(1+iy)}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}+2iy(1+iy)=0,$

dans laquelle $i$ est un coefficient fort petit.

En cherchant à l’intégrer par approximation suivant les méthodes ordinaires, on rejettera d’abord les termes affectés de $i,$ et l’on aura

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {1}{y}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=0,$

dont l’intégrale complète est

$y=ae^{bx},$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.

On fera maintenant

$y=ae^{bx}+iy',$

et, substituant, on aura après la division par $i$ une équation du même ordre en $y',$ pour laquelle il suffira de trouver une valeur satisfaisante de cette variable, puisque l’expression de $y$ contient déjà les deux constantes arbitraires $a$ et $b.$

En négligeant de nouveau les termes affectés de $i$ on trouvera

$y'=a^{2}e^{2bx}-ae^{bx}x^{2}.$

Faisant ensuite

$y'=a^{2}e^{2bx}-ae^{bx}x^{2}+iy'',$

et opérant de la même manière, on trouvera

$y''=a^{3}e^{3bx}-2a^{2}e^{2bx}x^{2}+{\frac {ae^{bx}x^{4}}{2}},$

et ainsi de suite.

On aura donc pour la valeur de $y$ la série

$ae^{bx}+iy'+i^{2}y''+\ldots ,$

laquelle contient, comme on voit, l’arc de cercle $x$ qui ne se trouve point dans l’équation différentielle.