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Or il est visible qu’on satisfera à toutes ces équations, en général, en faisant

$da=dx,\quad db=0,\quad dc=0,\ldots ,$

ce qui donnera

$a=\mathrm {A} +x,\quad {\text{et}}\quad b,c,\ldots$ constantes ;

et ces valeurs substituées dans

$y=\mathrm {X} '+\mathrm {Y} 'a+\mathrm {Z} 'a^{2}+\ldots$

reproduiront la même expression de $y$ trouvée d’abord.

8. Les équations différentielles des mouvements des Planètes, dans le système de la gravitation, sont du genre de celles dont nous venons de traiter ; ainsi, par la variation des constantes arbitraires de leurs intégrales, on pourra faire disparaître de ces intégrales les arcs de cercle que la méthode ordinaire d’approximation y introduira. Or ces constantes arbitraires ne sont, comme on sait, que les éléments des orbites elliptiques ; par conséquent on aura de cette manière la variation de ces éléments. Pour mettre dans ce calcul toute l’exactitude nécessaire, il faudra faire varier à la fois toutes les constantes arbitraires dont le nombre est double de celui des équations différentielles primitives, puisque celles-ci sont toutes du second ordre ; et comme dans les expressions des coordonnées par le temps, la variable qui exprime le temps se trouve multipliée sous les signes de sinus et cosinus par un coefficient qui dépend de la distance moyenne, il faudra par conséquent faire varier aussi ce coefficient en faisant varier la distance moyenne ; ce n’est que de cette manière qu’on pourra, par l’élimination des arcs de cercle, bien déterminer les variations séculaires de la distance moyenne, et s’assurer qu’elles doivent être nulles, comme nous l’avons trouvé par des principes directs et rigoureux. Nous nous bornerons ici à appliquer la méthode précédente à quelques autres équations.