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Il est visible aussi que ces équations seront toutes différentielles du premier ordre ; par conséquent leur intégration entraînera de nouveau un pareil nombre de constantes arbitraires, de manière que les intégrales trouvées seront toujours complètes après l’évanouissement des arcs de cercle et la substitution des nouvelles valeurs de $a,b,c,\ldots .$

Toute la difficulté consistera donc à déterminer ces valeurs par l’intégration des équations de condition ; mais dans plusieurs cas, et surtout lorsqu’on ne demande que des intégrales approchées, cette intégration dépendra des méthodes connues.

Au reste, quoique de cette manière les arcs de cercle disparaissent d’abord, ils pourront néanmoins reparaître dans les nouvelles valeurs de $a,b,c,\ldots \,;$ et cela arrivera même nécessairement toutes les fois que, par la nature des équations différentielles, ces arcs devront se trouver dans les intégrales.

7. Enfin, pour le succès de l’élimination des arcs de cercle, on doit éviter le cas où l’une des constantes arbitraires se trouverait jointe à la variable $x$ dans les fonctions algébriques de l’intégrale ; cette forme de l’intégrale est toujours possible puisque, la variable $x$ des fonctions algébriques disparaissant dans l’équation différentielle, la constante qui y serait jointe disparaîtrait aussi d’elle-même ; mais en y appliquant la méthode que nous venons de donner, on trouverait une intégrale de la même forme. En effet soit

$y=\mathrm {X} '+\mathrm {Y} '(x+a)+\mathrm {Z} '(x+a)^{2}+\ldots$

l’intégrale trouvée, $a$ étant une des constantes arbitraires, et les autres $b,c,\ldots$ étant renfermées dans les fonctions $\mathrm {X',Y'} ,\ldots .$

Par la règle du n^o 4, on aura d’abord l’équation

$\left[\mathrm {Y} '+2\mathrm {Z} '(x+a)+\ldots \right]da+\left[{\frac {d\mathrm {X} '}{db}}+{\frac {d\mathrm {Y} '}{db}}(x+a)+{\frac {d\mathrm {Z} '}{db}}(x+a)^{2}+\ldots \right]db+\ldots$

$\qquad =\left[\mathrm {Y} '+2\mathrm {Z} '(x+a)+\ldots \right]dx,$

ensuite les différentielles de celles-ci en faisant varier $x$ seule, etc.